Questão 178 do ENEM 2025 — Matemática
Quatro amigos, cada um com 100 moedas, criaram um jogo, no qual cada um assume uma das quatro posições, 1, 2, 3 ou 4, indicadas na figura, e nela permanece até o final.
O desenvolvimento do jogo se dá em rodadas e, em todas elas, cada jogador transfere e recebe uma quantidade de moedas, da seguinte maneira:
• o jogador na posição 1 transfere 1 moeda para o jogador na posição 2; • o jogador na posição 2 transfere 2 moedas para o jogador na posição 3; • o jogador na posição 3 transfere 3 moedas para o jogador na posição 4; • o jogador na posição 4 transfere 4 moedas para o jogador na posição 1, completando a rodada.
Ao final da rodada n, qual é a expressão algébrica que representa o número de moedas do jogador na posição 1?
Resolução comentada
A questão pede uma expressão para o número de moedas do jogador na posição 1 ao final da rodada n. Todos começam com 100 moedas, e em cada rodada o jogador 1 dá 1 moeda ao jogador 2 e recebe 4 moedas do jogador 4.
Veja o que acontece em uma única rodada com o jogador 1: ele perde 1 moeda e ganha 4, ou seja, o saldo é +3 por rodada. Os outros jogadores seguem o mesmo raciocínio de ganhar e perder: o jogador 2 recebe 1 e dá 2 (saldo −1); o 3 recebe 2 e dá 3 (saldo −1); o 4 recebe 3 e dá 4 (saldo −1). A soma dos saldos é 3 − 1 − 1 − 1 = 0, coerente, pois nenhuma moeda sai do jogo.
Assim, o jogador 1 tem 100 moedas no início, 103 após a rodada 1, 106 após a rodada 2, e assim por diante: uma progressão aritmética com razão 3. Após n rodadas, o total é 100 + 3n, a expressão da alternativa correspondente.
Os distratores aparecem de cálculos incompletos: 100 + 4n considera só o que o jogador 1 recebe e esquece que ele também transfere 1 moeda por rodada; 99 + 4n e as expressões com 103 confundem o ponto de partida, tratando a primeira rodada à parte. Teste sempre a fórmula com n = 1: o resultado deve ser 100 − 1 + 4 = 103.