Questão 176 do ENEM 2025 — Matemática
Três dados cúbicos, com faces numeradas de 1 a 6, foram utilizados em um jogo. Artur escolheu dois dados, e João ficou com o terceiro. O jogo consiste em ambos lançarem seus dados, observarem os números nas faces voltadas para cima e compararem o maior número obtido por Artur com o número obtido por João. Vence o jogador que obtiver o maior número. Em caso de empate, a vitória é de João.
O jogador que tem a maior probabilidade de vitória é
Resolução comentada
Artur lança dois dados e usa o maior número; João lança um dado. Vence quem tiver o maior número, e o empate favorece João. Assim, Artur vence apenas se o maior de seus dois dados for estritamente maior que o número de João. O espaço amostral tem 6 × 6 × 6 = 216 resultados igualmente prováveis.
É mais fácil contar o caso de João. Ele vence quando o maior dos dados de Artur é menor ou igual ao dele. Se João tirar j, os dois dados de Artur precisam ser ≤ j, o que dá j × j combinações. Somando para j de 1 a 6: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91 resultados favoráveis a João, de modo que a probabilidade dele é 91/216.
Artur vence nos 216 − 91 = 125 resultados restantes, com probabilidade 125/216 (cerca de 58%), contra 91/216 (cerca de 42%) de João. O jogador com maior chance é Artur, com probabilidade de 125/216, que é a alternativa correta.
A armadilha é supor que o empate a favor de João deixa o jogo equilibrado, ou que dois dados contra um dariam vantagem pequena. Na verdade, o maior de dois dados tende a ser alto, e isso pesa mais que o empate. Quem confunde os papéis e atribui 91/216 a Artur, ou calcula só P(maior de Artur > João) sem contar os casos de igualdade para João, chega a valores que não representam o jogo.