Questão 173 do ENEM 2025 — Matemática
Um pai comprou oito presentes diferentes (dentre os quais, uma bicicleta e um celular) para dar a seus três filhos. Ele pretende distribuir os presentes de modo que o filho mais velho e o mais novo recebam três presentes cada um, e o do meio receba os dois presentes restantes. O mais velho ganhará, entre seus presentes, ou uma bicicleta ou um celular, mas não ambos.
De quantas maneiras distintas a distribuição dos presentes pode ser feita?
Resolução comentada
A questão pede de quantas maneiras 8 presentes diferentes podem ser divididos entre três filhos: 3 para o mais velho, 2 para o do meio e 3 para o mais novo, com a condição de que o mais velho receba a bicicleta ou o celular, mas não os dois. Como os presentes são diferentes, a ordem de escolha dentro de cada filho não importa, e usamos combinações.
Passo 1, o mais velho: ele recebe 3 presentes, com exatamente um dos dois especiais. Escolha qual deles: 2 maneiras. Os outros 2 presentes saem dos 6 restantes que não são nem bicicleta nem celular: C(6, 2) = 15. Total: 2 · 15 = 30 maneiras.
Passo 2, o mais novo: sobram 5 presentes, dos quais ele recebe 3: C(5, 3) = 10 maneiras. Passo 3, o do meio: recebe os 2 que sobram, apenas 1 maneira.
Pelo princípio multiplicativo: 30 · 10 · 1 = 300 maneiras. Erros típicos: esquecer de multiplicar pelas 2 escolhas entre bicicleta e celular (chegando a 150), usar arranjos em vez de combinações (ordem importando), ou escolher os 3 presentes do mais velho entre todos os 8 sem a restrição, o que permitiria casos em que ele ganha os dois especiais ou nenhum.