Questão 169 do ENEM 2025 — Matemática
Um empresário utiliza máquinas cuja pressão interna P, em atmosfera, depende do tempo contínuo de utilização t, em hora, e de um parâmetro positivo K, que define o modelo da máquina, segundo a expressão:
P = 4 ⋅ log[−K ⋅ (t + 1) ⋅ (t − 19)]
O fabricante dessas máquinas recomenda ao usuário que a pressão interna desse tipo de máquina não ultrapasse 10 atmosferas durante seu funcionamento. O empresário pretende comprar novas máquinas desse tipo que deverão funcionar, diariamente, por um período contínuo de 10 horas. Para isso, precisa definir o modelo de máquina a ser adquirida escolhendo o maior valor possível do parâmetro K, atendendo à recomendação do fabricante.
O maior valor a ser escolhido para K é
Resolução comentada
A pressão é P = 4 · log[−K · (t + 1) · (t − 19)], com log na base 10. A máquina funcionará de t = 0 a t = 10 horas, e a pressão não pode passar de 10 atm em nenhum instante desse período. Queremos o maior K possível.
Primeiro, traduza a condição P ≤ 10: 4 · log[...] ≤ 10, logo log[...] ≤ 2,5, e portanto −K · (t + 1) · (t − 19) ≤ 102,5. Note que −(t − 19) = 19 − t, então a condição é K · (t + 1) · (19 − t) ≤ 102,5.
Como K é fixo e a pressão varia com o tempo, o pior caso é o instante em que o produto (t + 1)(19 − t) é máximo. Esse produto é uma parábola voltada para baixo com raízes em t = −1 e t = 19; o vértice fica no ponto médio, t = 9, que está dentro do intervalo de 0 a 10. Seu valor é (9 + 1)(19 − 9) = 10 · 10 = 100.
Impondo K · 100 ≤ 102,5, obtemos K ≤ 102,5 ÷ 102 = 100,5 (cerca de 3,16). Esse é o valor da alternativa que traz 100,5. O erro comum é avaliar a expressão apenas nas pontas do intervalo (t = 0 dá 19; t = 10 dá 99) em vez de usar o máximo da parábola, ou dividir por um valor que não é o máximo, o que gera frações do tipo 102,5 ÷ outro número.