Questão 160 do ENEM 2025 — Matemática
Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.
Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?
Resolução comentada
Queremos contar as diretorias com três cargos distintos (presidente, secretário e tesoureiro), de modo que no máximo uma pessoa de cada casal participe. Como os cargos são diferentes, a ordem importa, e usamos o princípio multiplicativo, escolhendo cargo por cargo.
Presidente: qualquer uma das 20 pessoas (10 casais × 2). Secretário: não pode ser o presidente nem o cônjuge dele, então saem 2 pessoas das 20 e restam 18. Tesoureiro: não pode ser nenhuma das 4 pessoas dos dois casais já representados (presidente, cônjuge, secretário e cônjuge), restando 20 − 4 = 16.
Multiplicando: 20 × 18 × 16 = 5 760 diretorias. É a alternativa que traz 20 × 18 × 16. Perceba que não precisa multiplicar por 2 no final, pois o fator 2 já está embutido nas 20 pessoas (cada casal contribui com duas opções).
O erro que leva a 20 × 19 × 18 é ignorar a restrição, só retirando as pessoas já escolhidas. A opção 10 × 9 × 8 conta apenas os casais, esquecendo de escolher qual dos dois membros ocupa o cargo; as com fator 2 extra repetem essa escolha, contando duas vezes.