Questão 147 do ENEM 2025 — Matemática
A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma. As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações.
Quantos vértices tem esse poliedro?
Resolução comentada
A questão pede o número de vértices da cúpula pentagonal giralongada. Pelas figuras, a planificação mostra: 1 decágono (em vermelho), 1 pentágono (em verde), 5 quadrados (em amarelo) e os triângulos (em azul), que formam um anel de 20 ao redor do decágono, mais 5 entre os quadrados, totalizando 25 triângulos.
Conte as faces: F = 1 + 1 + 5 + 25 = 32. Em seguida, conte as arestas. Somando os lados de todas as faces: 10 (decágono) + 5 (pentágono) + 5 × 4 = 20 (quadrados) + 25 × 3 = 75 (triângulos), tem-se 110. Cada aresta é compartilhada por duas faces, então A = 110 ÷ 2 = 55.
Use agora a relação de Euler para poliedros convexos: V − A + F = 2. Então V = 2 + 55 − 32 = 25. Outra conferência: o poliedro tem um pentágono (5 vértices) no topo, um decágono (10 vértices) na base e mais um anel de 10 vértices entre eles, totalizando 5 + 10 + 10 = 25.
Atenção aos valores que são distratores: 55 é o número de arestas, e 110 é a soma dos lados das faces (conta intermediária). Esquecer de dividir por 2 leva a 110.