Questão 176 do ENEM 2024 — Matemática
Um tanque de armazenamento de líquidos tem o formato de uma pirâmide reta de base quadrada, cujo plano que contém essa base é paralelo a um solo plano e horizontal. Esse tanque tem capacidade de 240 litros e altura de 2 metros. Inicialmente vazio, nele é despejado um líquido à vazão constante de 0,015 m3/s. Sabe-se que 1 L = 1 dm3 = 0,001 m3.
Qual expressão fornece a altura, em metro, da coluna de líquido dentro desse tanque em função do tempo t, em segundo?
t
Resolução comentada
A questão pede a altura h do líquido em função do tempo, e a ferramenta é a razão entre volumes de pirâmides semelhantes: o volume varia com o cubo da altura.
O tanque é uma pirâmide de altura 2 m e capacidade 240 L = 0,24 m³, com o vértice para baixo, como mostra a figura. O líquido entra a 0,015 m³/s. Em t segundos, o volume é V(t) = 0,015 · t, e a parte cheia é uma pirâmide menor, semelhante à do tanque.
V(t)/V_total = (h/2)³
0,015 · t / 0,24 = t/16, então (h/2)³ = t/16
h³ = 8t/16 = t/2
h = ∛(t/2).
Teste: o tanque enche quando 0,24 / 0,015 = 16 s, e ∛(16/2) = ∛8 = 2 m, a altura total.
A resposta é h = ∛(t/2), isto é, a raiz cúbica da fração t/2 inteira. A expressão "∛t / 2" coloca só o t dentro da raiz e divide o resultado por 2, um erro de leitura da fração, e dá 1,26 m em t = 16 s, sem encher o tanque. As expressões "(1/10)·∛(t/2)", "(1/10)·∛(t/8)" e "(3/10)·∛(t/2)" trazem fatores 1/10 e 3/10 que não saem da semelhança entre as pirâmides, e no teste com t = 16 s dão alturas de 0,2 m, 0,13 m e 0,6 m, nunca os 2 m do tanque cheio.