Questão 164 do ENEM 2024 — Matemática
O processo de truncamento de um octaedro regular consiste em retirar, a partir de cada vértice, uma pirâmide obtida pelo seccionamento desse poliedro por um plano, conforme a figura.
Não há interseção entre duas dessas secções.
Disponível em: www.matematicasvisuales.com. Acesso em: 21 out. 2019 (adaptado).
Qual é a quantidade de vértices do octaedro truncado?
Resolução comentada
A questão pede o número de vértices do octaedro truncado. O octaedro regular tem 6 vértices, e em cada um deles é cortada uma pirâmide; o que importa é entender o que acontece com cada vértice original.
Em cada vértice do octaedro concorrem 4 faces (4 arestas). Ao seccionar com um plano, a pirâmide retirada deixa no lugar uma nova face, que é um quadrado (uma seção com 4 lados), e o vértice original desaparece. Como as seções não se tocam, cada corte cria exatamente 4 vértices novos.
Contagem:
Vértices originais: 6 (todos eliminados pelos cortes)
Vértices novos por corte: 4
Total: 6 · 4 = 24 vértices
A resposta é 24. Os outros valores vêm de contar a coisa errada: 6 é o número de vértices do octaedro original, antes do corte; 8 é o número de faces do octaedro original; 14 é a soma 6 + 8 (ou o total de faces do sólido truncado), que mistura vértices com faces; e 30 vem de somar os 24 vértices novos aos 6 vértices originais, que já não existem depois do truncamento.