Questão 164 do ENEM 2024 — Matemática
Um hospital tem 7 médicos cardiologistas e 6 médicos neurologistas em seu quadro de funcionários. Para executar determinada atividade, a direção desse hospital formará uma equipe com 5 médicos, sendo, pelo menos, 3 cardiologistas.
A expressão numérica que representa o número máximo de maneiras distintas de formar essa equipe é
Resolução comentada
A questão pede a expressão que conta as equipes de 5 médicos, escolhidos entre 7 cardiologistas e 6 neurologistas, com pelo menos 3 cardiologistas. Como a ordem dos médicos na equipe não importa, usamos combinações: C(n, p) = n! ÷ (p! · (n − p)!).
«Pelo menos 3 cardiologistas» em uma equipe de 5 divide-se em três casos que não se sobrepõem. Caso 1: 3 cardiologistas e 2 neurologistas, C(7, 3) · C(6, 2) = [7! ÷ (3! · 4!)] · [6! ÷ (2! · 4!)] = 35 · 15 = 525. Caso 2: 4 cardiologistas e 1 neurologista, C(7, 4) · C(6, 1) = [7! ÷ (4! · 3!)] · [6! ÷ (1! · 5!)] = 35 · 6 = 210. Caso 3: 5 cardiologistas e nenhum neurologista, C(7, 5) = 21.
Em cada caso, as escolhas dos dois grupos ocorrem juntas, então multiplicam-se. Os casos são alternativas excludentes, então somam-se. O total é 525 + 210 + 21 = 756 equipes, e a expressão correta é a soma de três produtos, cada um formado pelas combinações de cardiologistas multiplicadas pelas de neurologistas.
Os distratores erram nessa estrutura: alguns trazem apenas um produto (considerando um só caso), outros somam as combinações sem multiplicar os dois grupos, ou multiplicam os casos entre si, o que é um erro conceitual. Lembre a regra: «e» (escolhas simultâneas) vira multiplicação e «ou» (casos distintos) vira adição.