Questão 149 do ENEM 2024 — Matemática
Uma fábrica utiliza latas cilíndricas como embalagem de seus produtos. Para embalar um novo produto, essa fábrica necessitará de latas cilíndricas com, no mínimo, o triplo da capacidade volumétrica das que estão em uso, e com o menor custo possível. O representante de uma empresa de embalagens disponibilizou para essa fábrica cinco opções de latas, relacionando as medidas das latas novas com as que estão em uso. São elas:
• I: multiplicar a medida do raio por 6 e manter a da altura; • II: triplicar as medidas da área da base e da altura; • III: triplicar a medida do raio e manter a da altura; • IV: manter a medida do raio e triplicar a da altura; • V: triplicar as medidas do raio e da altura.
O preço de cada lata é diretamente proporcional à sua capacidade volumétrica.
As exigências da fábrica são atendidas pelo tipo de lata apresentada na opção
Resolução comentada
A questão pede para comparar como o volume de um cilindro, V = π · r² · h, reage a mudanças no raio e na altura, e escolher a modificação que dá pelo menos o triplo do volume ao menor custo. Como o preço é proporcional ao volume, a melhor opção é a que chega mais perto de exatamente 3 vezes o volume atual.
Repare que o raio entra elevado ao quadrado: multiplicar o raio por k multiplica o volume por k². Já a altura entra de forma linear: multiplicar a altura por k multiplica o volume por k. A área da base, π · r², também é proporcional ao volume.
Calculando o fator de volume de cada proposta:
• raio × 6, altura igual: 6² = 36 vezes
• área da base × 3 e altura × 3: 3 · 3 = 9 vezes
• raio × 3, altura igual: 3² = 9 vezes
• raio igual, altura × 3: 1 · 3 = 3 vezes
• raio × 3 e altura × 3: 3² · 3 = 27 vezes
A resposta é manter o raio e triplicar a altura: é a única que dá exatamente o triplo (3 vezes) da capacidade, atendendo à exigência com o menor custo. As propostas que multiplicam o raio por 6, que triplicam o raio ou que triplicam raio e altura juntos atendem ao mínimo exigido, mas dão 36, 9 e 27 vezes o volume, ou seja, saem muito mais caras. Quem triplica a área da base e a altura também chega a 9 vezes, porque os dois fatores 3 se multiplicam. O erro típico é achar que "triplicar o raio" triplica o volume, esquecendo o expoente 2.