Questão 179 do ENEM 2024 — Matemática
A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 quilômetros entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P índice 1, P índice 2 e P índice 3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
Resolução comentada
A questão pede a distância do hospital H a cada posto de saúde. Os postos P1, P2 e P3 estão a 10 km uns dos outros, formando um triângulo equilátero de lado 10 km, e H é equidistante dos três (as marcas na figura indicam segmentos iguais). Logo, H é o centro da circunferência que passa pelos três vértices, e a distância pedida é o raio dessa circunferência.
Em um triângulo equilátero de lado L, a altura vale h = L√3/2 = 10√3/2 = 5√3 ≈ 8,66 km. O ponto H é o centro do triângulo (o circuncentro, que no equilátero coincide com o baricentro). Ele divide cada altura na proporção 2 para 1: a parte entre H e o vértice vale 2/3 da altura, e a parte entre H e o lado vale 1/3.
Então a distância do centro ao vértice é R = (2/3) · 5√3 = 10√3/3 = 10/√3 ≈ 5,77 km. Esse valor está entre 5 e 6, que é a alternativa correta. Verificação pelo seno: o lado vale 2R · sen 60°, então R = L/(2 · sen 60°) = 10/√3 ≈ 5,77.
Os distratores partem de confusões. Tomar a altura inteira (≈ 8,66) levaria ao intervalo entre 8 e 9; tomar apenas 1/3 da altura (≈ 2,89, a distância do centro ao lado, ou seja, o raio da circunferência inscrita) levaria ao intervalo entre 2 e 3. A distância do centro aos vértices é sempre o dobro da distância do centro aos lados no triângulo equilátero.