Questão 171 do ENEM 2024 — Matemática
A criptografia refere-se à construção e análise de protocolos que impedem terceiros de lerem mensagens privadas. Júlio César, imperador romano, utilizava um código para proteger as mensagens enviadas a seus generais. Assim, se a mensagem caísse em mãos inimigas, a informação não poderia ser compreendida. Nesse código, cada letra do alfabeto era substituída pela letra três posições à frente, ou seja, o “A” era substituído pelo “D”, o “B” pelo “E”, o “C” pelo “F”, e assim sucessivamente.
Qualquer código que tenha um padrão de substituição de letras como o descrito é considerado uma Cifra de César ou um Código de César. Note que, para decifrar uma Cifra de César, basta descobrir por qual letra o “A” foi substituído, pois isso define todas as demais substituições a serem feitas.
Uma mensagem, em um alfabeto de 26 letras, foi codificada usando uma Cifra de César. Considere a probabilidade de se descobrir, aleatoriamente, o padrão utilizado nessa codificação, e que uma tentativa frustrada deverá ser eliminada nas tentativas seguintes.
A probabilidade de se descobrir o padrão dessa Cifra de César apenas na terceira tentativa é dada por
Resolução comentada
A questão pede a probabilidade de acertar o padrão da cifra exatamente na terceira tentativa, sabendo que cada tentativa errada é descartada e não se repete. Trata-se de eventos sucessivos e dependentes, então as probabilidades são multiplicadas, atualizando o total de casos a cada passo.
O padrão é definido pela letra que substitui o A. Como se trata de uma substituição, o A não pode ser trocado por ele mesmo; restam 25 letras possíveis, e só uma delas é a correta. Na primeira tentativa, a chance de errar é 24/25. Eliminada essa letra, restam 24 candidatas, e a chance de errar de novo é 23/24. Eliminadas duas, restam 23 candidatas, e a chance de acertar na terceira é 1/23.
Para errar a primeira, errar a segunda e acertar a terceira, multiplique: 24/25 × 23/24 × 1/23. Simplificando, 24 e 23 se cancelam e sobra 1/25, ou seja, 4%. A expressão que traz exatamente esse produto, com 24/25, 23/24 e 1/23, é a correta.
Dois erros são frequentes. O primeiro é somar as probabilidades (1/25 + 1/25 + 1/25 ou outras somas): a soma serve para eventos alternativos, e aqui o acerto só ocorre se as duas primeiras tentativas falharem, então o correto é multiplicar. O segundo é não atualizar o denominador, mantendo 25 em todas as frações, como se a letra errada pudesse ser sorteada de novo, contrariando o enunciado.