Questão 169 do ENEM 2024 — Matemática
Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.
O jardineiro escolherá a forma de
Resolução comentada
O jardim terá perímetro k (toda a cerca é usada) e a forma escolhida deve dar a maior área. Basta calcular a área de cada figura em função de k e comparar.
Triângulo equilátero: lado k/3, área = (lado² · √3)/4 = (k²/9 · √3)/4 = k²√3/36 ≈ 0,048k². Quadrado: lado k/4, área = k²/16 = 0,0625k². Hexágono regular: lado k/6, formado por 6 triângulos equiláteros, área = 6 · (k²/36 · √3)/4 = k²√3/24 ≈ 0,0722k².
Comparando 0,048k², 0,0625k² e 0,0722k², vence o hexágono regular, com área k²√3/24. É a alternativa que cita o hexágono regular e traz exatamente essa expressão. Note que, para um mesmo perímetro, quanto mais lados, mais a figura se aproxima do círculo e maior é a área.
Cuidado com as armadilhas: as frases com 3k²√3/2 (hexágono) e k²√3/4 (triângulo) usam o lado igual a k, esquecendo de dividir o perímetro pelo número de lados; por isso as áreas ficam absurdamente grandes. Já as que trazem k²√3/36 e k²/16 descrevem corretamente o triângulo e o quadrado, mas são áreas menores.