Questão 165 do ENEM 2024 — Matemática
Uma indústria faz uma parceria com uma distribuidora de sucos para lançar no mercado dois tipos de embalagens. Para a fabricação dessas embalagens, a indústria dispõe de folhas de alumínio retangulares, de dimensões 10 centímetros por 20 centímetros. Cada uma dessas folhas é utilizada para formar a superfície lateral da embalagem, em formato de cilindro circular reto, que posteriormente recebe fundo e tampa circulares. A figura ilustra, dependendo de qual das duas extensões será utilizada como altura, as duas opções para formar a possível embalagem.
Dentre essas duas embalagens, a de maior capacidade apresentará volume, em centímetro cúbico, igual a
Resolução comentada
A questão pede o volume da embalagem de maior capacidade. A folha retangular de 10 cm por 20 cm forma a superfície lateral de um cilindro: um dos lados vira a altura h, e o outro lado vira o comprimento da circunferência da base, 2πr. O volume é V = π · r² · h.
Embalagem 1: altura de 20 cm e circunferência de 10 cm. Então 2πr = 10, logo r = 5 ÷ π. O volume é V = π · (5 ÷ π)² · 20 = π · (25 ÷ π²) · 20 = 500 ÷ π cm³.
Embalagem 2: altura de 10 cm e circunferência de 20 cm. Então 2πr = 20, logo r = 10 ÷ π. O volume é V = π · (10 ÷ π)² · 10 = π · (100 ÷ π²) · 10 = 1 000 ÷ π cm³. Esse valor é o dobro do da embalagem 1, portanto é o maior.
Perceba que o volume depende do quadrado do raio, por isso a embalagem mais larga (e mais baixa) tem a maior capacidade. Erros comuns: usar 10 ou 20 diretamente como raio (o que gera volumes com π no numerador, como 2 000π ou 4 000π), ou usar 10 como diâmetro em vez de comprimento da circunferência. Lembre que o lado da folha que dá a volta na base é a circunferência (2πr), não o diâmetro nem o raio.