Questão 156 do ENEM 2024 — Matemática
Para abrir a porta de uma empresa, cada funcionário deve cadastrar uma senha utilizando um teclado alfanumérico como o representado na figura.
Por exemplo: a tecla que contém o número 2 traz as letras correlacionadas A, B e C. Cada toque nessa tecla mostra, sequencialmente, os seguintes caracteres: 2, A, B e C. Para os próximos toques, essa sequência se repete. As demais teclas funcionam da mesma maneira.
As senhas a serem cadastradas pelos funcionários devem conter 5 caracteres, sendo 2 algarismos distintos seguidos de 3 letras diferentes, nessa ordem. Um funcionário irá cadastrar a sua primeira senha, podendo escolher entre as teclas que apresentam os números 1, 2, 5, 7 e 0 e as respectivas letras correlacionadas, quando houver.
O número de possibilidades diferentes que esse funcionário tem para cadastrar sua senha é
Resolução comentada
A senha tem 5 caracteres: 2 algarismos distintos, seguidos de 3 letras diferentes, nessa ordem. O funcionário só pode usar as teclas 1, 2, 5, 7 e 0 e as letras correlacionadas a elas. Pela figura do teclado: a tecla 1 e a tecla 0 não têm letras; a tecla 2 traz A, B, C; a tecla 5 traz J, K, L; a tecla 7 traz P, Q, R, S.
Os algarismos disponíveis são 1, 2, 5, 7 e 0, ou seja, 5 opções. Como devem ser distintos, há 5 · 4 = 20 maneiras de escolher o par ordenado de algarismos.
As letras disponíveis vêm apenas das teclas 2, 5 e 7: 3 + 3 + 4 = 10 letras. Para 3 letras diferentes, em ordem: 10 · 9 · 8 = 720 possibilidades.
Pelo princípio multiplicativo, o total é 20 · 720 = 14 400 senhas. Os erros mais comuns: contar as teclas sem letras como se tivessem letras (contando letras que não existem nessas teclas); usar 5 · 5 para os algarismos, esquecendo que eles devem ser distintos; ou considerar combinações em vez de arranjos para as letras, ignorando que a ordem delas em uma senha importa.