Questão 147 do ENEM 2024 — Matemática
Uma criança, utilizando um aplicativo, escreveu uma mensagem para enviar a um amigo. Essa mensagem foi escrita seguindo estas etapas:
| Etapas | Visor de escrita |
|---|---|
| 1ª etapa: inseriu três figuras do tipo 🙂 no visor de escrita da mensagem; | 🙂🙂🙂 |
| 2ª etapa: copiou o que havia inserido anteriormente e colou (inseriu o que havia copiado) ao lado; | 🙂🙂🙂🙂🙂🙂 |
| 3ª etapa: copiou o que tinha no visor na 2ª etapa e colou ao lado. | 🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂🙂 |
A criança seguiu copiando e colando, em cada etapa, o que tinha no visor na etapa imediatamente anterior, até concluir a vigésima etapa. Em seguida, enviou a mensagem.
Qual foi o total de figuras contidas na mensagem enviada?
Resolução comentada
A questão pede o total de figuras no visor ao fim da 20ª etapa. Organize o que acontece em cada etapa: na 1ª, há 3 figuras; em cada etapa seguinte, a criança copia o que está no visor e cola ao lado, ou seja, dobra a quantidade.
Escreva a sequência: 1ª etapa: 3; 2ª etapa: 6 = 3 · 2; 3ª etapa: 12 = 3 · 2²; 4ª etapa: 24 = 3 · 2³. Perceba o padrão: a quantidade de figuras na n-ésima etapa é 3 · 2n−1. Trata-se de uma progressão geométrica de primeiro termo 3 e razão 2.
O total na 20ª etapa é o 20º termo: a20 = 3 · 220−1 = 3 · 219. Note que a pergunta pede a quantidade presente no visor ao fim, e não a soma de todas as figuras coladas ao longo das etapas, porque cada etapa já contém o que veio antes.
O erro típico é usar o expoente 20 em vez de 19, esquecendo que a 1ª etapa não tem duplicação (o expoente é n − 1). A soma dos 20 termos, 3 · (220 − 1), responde a outra pergunta e não é o que se pede.