Questão 143 do ENEM 2024 — Matemática
Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa 20 reais, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa 15 reais. O fazendeiro quer gastar, no máximo, 6000 reais na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possível.
Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
Resolução comentada
O galinheiro é um retângulo com lados L e C. Dois lados de comprimento L usam tela de R$ 20,00 por metro, e os outros dois lados, de comprimento C, usam tela de R$ 15,00 por metro. O gasto máximo é R$ 6 000,00, e a área L · C deve ser a maior possível.
Monte o custo: 2 · L · 20 + 2 · C · 15 = 40L + 30C. Para ter a maior área, use todo o dinheiro: 40L + 30C = 6 000, ou, dividindo por 10, 4L + 3C = 600. Isolando C: C = (600 − 4L) ÷ 3.
A área é A = L · C = L · (600 − 4L) ÷ 3, uma função do 2º grau em L, com concavidade para baixo, cujo máximo está no vértice, na metade das raízes. As raízes são L = 0 e L = 150, então L = 75. Outro jeito: a soma 4L + 3C = 600 é constante, e o produto (4L) · (3C) é máximo quando 4L = 3C = 300. Logo L = 75 m e C = 300 ÷ 3 = 100 m. A área máxima é 7 500 m².
O maior lado mede 100 m. Atenção: a pergunta pede o maior lado, e não o valor de L (75). Quem pensa que o retângulo ideal é o quadrado erra, pois os preços dos lados são diferentes.