Questão 139 do ENEM 2024 — Matemática
Uma sala com piso no formato retangular, com lados de medidas 3 metros e 6 metros, será dividida em dois ambientes. Para isso, serão utilizadas colunas em formato cilíndrico, dispostas perpendicularmente ao piso e representadas na figura pelos círculos de cor azul. Os centros desses círculos estarão sobre uma reta paralela aos lados de menor medida do piso da sala. Os vãos entre duas colunas e entre uma coluna e a parede não poderão ser superiores a 15 centímetros.
Para efetuar a compra dessas colunas, foram feitos orçamentos com base em dados fornecidos por cinco lojas.
| Loja | Raio (cm) | Preço por unidade (R$) |
|---|---|---|
| I | 5 | 60 |
| II | 10 | 70 |
| III | 12 | 75 |
| IV | 15 | 90 |
| V | 20 | 120 |
A compra será realizada na loja cujo orçamento resulte no menor valor total possível.
A compra será realizada na loja
Resolução comentada
Observe na figura que as colunas ficam alinhadas ao longo de uma reta paralela ao lado menor, ou seja, cobrem os 3 metros = 300 cm do vão. Os espaços livres (entre duas colunas e entre uma coluna e a parede) podem ter no máximo 15 cm. Você deve achar, para cada loja, o número mínimo de colunas que respeita isso e comparar o custo total.
Com n colunas de diâmetro d (d = 2 · raio), há n + 1 vãos. Para que cada vão seja de até 15 cm, é preciso que n · d + (n + 1) · 15 ≥ 300. Isso equivale a n ≥ 285 ÷ (d + 15).
Loja com raio 5 (d = 10): n ≥ 285 ÷ 25 = 11,4, então 12 colunas, custo 12 · 60 = 720. Raio 10 (d = 20): 285 ÷ 35 ≈ 8,1, então 9 colunas, custo 630. Raio 12 (d = 24): 285 ÷ 39 ≈ 7,3, então 8 colunas, custo 8 · 75 = 600. Raio 15 (d = 30): 285 ÷ 45 ≈ 6,3, então 7 colunas, custo 630. Raio 20 (d = 40): 285 ÷ 55 ≈ 5,2, então 6 colunas, custo 720.
O menor valor é R$ 600,00, na loja de colunas com raio de 12 cm. Perceba o erro típico: arredondar o número de colunas para baixo (por exemplo, 7 no lugar de 8), o que deixaria vãos maiores que 15 cm, ou esquecer que o raio, e não o diâmetro, é o dado da tabela.