Questão 137 do ENEM 2024 — Matemática
Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo alfa, em grau, e do raio R, em metro.
Ao aumentar o ângulo alfa ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.
Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:
•tipo 1: alfa é igual a 15 graus e R é igual a 20 metros;
•tipo 2: alfa é igual a 30 graus e R é igual a 22 metros;
•tipo 3: alfa é igual a 40 graus e R é igual a 12 metros;
•tipo 4: alfa é igual a 60 graus e R é igual a 16 metros;
•tipo 5: alfa é igual a 90 graus e R é igual a 10 metros.
Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 metros quadrados, com o menor preço possível.
Use 3 como valor aproximado para pi.
O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo
Resolução comentada
Você precisa achar, entre os cinco sensores, o de menor preço que cubra pelo menos 70 m². Como o preço cresce com a área, basta calcular a área de cada setor e escolher a menor que seja maior ou igual a 70 m².
A figura mostra um setor circular de ângulo α e raio R, com vértice em S. Sua área é uma fração do círculo: A = (α ÷ 360) · π · R², com π = 3. Calculando cada tipo:
Tipo 1: (15 ÷ 360) · 3 · 20² = 50 m². Tipo 2: (30 ÷ 360) · 3 · 22² = 121 m². Tipo 3: (40 ÷ 360) · 3 · 12² = 48 m². Tipo 4: (60 ÷ 360) · 3 · 16² = 128 m². Tipo 5: (90 ÷ 360) · 3 · 10² = 75 m².
Atendem ao mínimo de 70 m² os tipos 2 (121), 4 (128) e 5 (75). Entre eles, o de menor área, e portanto o mais barato, é o tipo 5, com 75 m². Cuidado com a armadilha de escolher o tipo 2, que tem o maior raio, ou o tipo 4, que tem o maior ângulo: ambos cobrem muito mais do que o necessário. Lembre também que o raio entra elevado ao quadrado, por isso ele pesa mais na área do que o ângulo.