Questão 172 do ENEM 2023 — Matemática
Após uma reforma, um clube decide comprar duchas para serem instaladas no vestiário. O tipo de ducha escolhida, segundo o fabricante, tem probabilidade igual a
1 10 de apresentar funcionamento irregular. O administrador
do clube planeja adquirir uma certa quantidade dessas
duchas, de forma que a probabilidade de que pelo menos
uma das duchas adquiridas apresente funcionamento
regular seja igual a, no mínimo, 99
.
100
A quantidade mínima de duchas que deverá ser adquirida para atender ao planejamento desse administrador é
Resolução comentada
A questão pede o menor número de duchas a comprar para que a probabilidade de pelo menos uma funcionar regularmente seja de, no mínimo, 99/100. A ferramenta é o evento complementar: "pelo menos uma regular" é o contrário de "todas irregulares".
Cada ducha tem probabilidade 1/10 de funcionamento irregular, e as duchas são independentes. Com n duchas, a probabilidade de todas serem irregulares é (1/10)ⁿ, então a de haver pelo menos uma regular é 1 − (1/10)ⁿ.
1 − (1/10)ⁿ ≥ 99/100
(1/10)ⁿ ≤ 1/100
Para n = 1: 1/10 = 0,1, que é maior que 0,01 e não serve
Para n = 2: (1/10)² = 1/100 = 0,01, que atende
Então n mínimo = 2
A resposta é 2 duchas: com duas, a chance de as duas serem irregulares é 1%, e a de ao menos uma funcionar bem é 99%. Os valores 8, 9, 10 e 11 não têm uma única origem; vêm de raciocínios de proporção, do tipo "se 1 em cada 10 falha, preciso de umas 10" (10, ou 9 e 11 por ajuste), ou de usar 9/10 como base da potência em vez de 1/10, o que muda completamente a conta. Lembre que a probabilidade de falha cai muito rápido ao se multiplicar probabilidades independentes.