Questão 172 do ENEM 2023 — Matemática
Sejam a, b e c as medidas dos lados de um triângulo retângulo, tendo a como medida da hipotenusa. Esses valores a, b e c são, respectivamente, os diâmetros dos círculos C1 , C2 e C3, como apresentados na figura.
Observe que essa construção assegura, pelo teorema de Pitágoras, que área (C1) = área (C2) + área (C3).
Um professor de matemática era conhecedor dessa construção e, confraternizando com dois amigos em uma pizzaria onde são vendidas pizzas somente em formato de círculo, lançou um desafio: mesmo sem usar um instrumento de medição, poderia afirmar com certeza se a área do círculo correspondente à pizza que ele pedisse era maior, igual ou menor do que a soma das áreas das pizzas dos dois amigos. Assim, foram pedidas três pizzas. O professor as dividiu ao meio e formou um triângulo com os diâmetros das pizzas, conforme indicado na figura.
A partir da medida do ângulo a, o professor afirmou que a área de sua pizza é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas.
A área da pizza do professor de matemática é maior do que a soma das áreas das outras duas pizzas, pois
Resolução comentada
A área de um círculo é proporcional ao quadrado do seu diâmetro, e pela lei dos cossenos, a² = b² + c² − 2bc·cos(a). A área do círculo C1 (diâmetro a) só supera a soma das áreas de C2 e C3 quando a² > b² + c², ou seja, quando cos(a) é negativo — isso só acontece quando o ângulo a é obtuso, entre 90° e 180°.
A igualdade de áreas (não a superioridade) é que ocorre quando a = 90°, pelo teorema de Pitágoras. Como o professor afirma que sua pizza é estritamente maior, o ângulo precisa passar de 90°, e não ser exatamente 90°.