Questão 173 do ENEM 2023 — Matemática
Na modelagem e no estudo de fenômenos periódicos, em geral, os modelos associados fazem uso de funções trigonométricas. Nesse sentido, considere um experimento, realizado em laboratório, em que uma planta foi colocada em uma estufa, onde a temperatura é controlável. O experimento consiste em observar alterações nas características dessa planta ao ser submetida a variações de temperatura. Durante 24 horas, a temperatura T(x) da estufa variou de acordo
x com a função T(x) = 20 - 10sen , em que x 4 é medido em hora, variando no intervalo 0 ≤ x ≤ 24.
Durante esse experimento, quantas vezes a temperatura na estufa atingiu o seu valor mínimo?
Resolução comentada
A questão pede quantas vezes, em 24 horas, a temperatura T(x) = 20 − 10 · sen(πx/4) atinge o valor mínimo. Para isso, descubra quando o seno vale o que torna T o menor possível e conte as soluções no intervalo 0 ≤ x ≤ 24.
Como T = 20 − 10 · sen(·), a temperatura é mínima quando o seno é máximo, ou seja, sen = 1, e o valor mínimo é T = 20 − 10 = 10 °C. Veja o período: o argumento πx/4 completa uma volta (2π) quando x = 8, então o ciclo se repete a cada 8 horas.
sen(πx/4) = 1 ⇔ πx/4 = π/2 + 2kπ
x = 2 + 8k, com k inteiro
k = 0: x = 2
k = 1: x = 10
k = 2: x = 18
k = 3: x = 26, que passa de 24 e não vale
Conferência: 24/8 = 3 períodos completos, com um mínimo em cada um
A temperatura atinge o mínimo 3 vezes (às 2 h, 10 h e 18 h). O valor 1 vem de contar só o primeiro mínimo. O valor 4 resulta de somar 1 por contar a extremidade do intervalo, mas em x = 0 e x = 24 o seno vale 0 e a temperatura é 20 °C. O valor 7 é o número de vezes em que sen = 0 (x = 0, 4, 8, 12, 16, 20 e 24), isto é, em que a temperatura passa por 20 °C. O valor 5 vem de misturar pontos de mínimo, de máximo e de passagem por 20 °C na contagem.