Questão 160 do ENEM 2023 — Matemática
Em uma sala escura há um ponto luminoso, a mais de 3 metros de distância de uma parede, e um disco pendurado, paralelo à parede, entre ela e o ponto luminoso. O disco encontra-se a 1 metro de distância do ponto luminoso, projetando uma sombra S1, em formato de círculo, na parede. Esse disco é afastado mais 2 m do ponto luminoso, em direção à sombra e sem encostar na parede, projetando outra sombra S2, também no formato de um círculo.
Sejam A1 a área de S1 e A2 a área de S2.
O valor de A
é
1
A
2
Resolução comentada
A questão pede a razão entre as áreas de duas sombras circulares. A ferramenta é a semelhança de triângulos: a sombra é uma ampliação do disco, e a razão entre áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão entre os comprimentos.
Seja d a distância do ponto luminoso à parede e r o raio do disco. Pelos triângulos semelhantes formados pelos raios de luz, o raio da sombra vale R = r · d/x, em que x é a distância do disco ao ponto luminoso. Primeiro disco: x = 1 m. Depois de afastado 2 m, ele fica a x = 1 + 2 = 3 m do ponto luminoso (e ainda não encosta na parede, que está a mais de 3 m).
Raio de S₁: R₁ = r · d/1 = r · d
Raio de S₂: R₂ = r · d/3
R₁/R₂ = 3
A₁/A₂ = (π · R₁²)/(π · R₂²) = (R₁/R₂)² = 3² = 9
A resposta é 9. O valor 3 é a razão entre os raios (ou entre as distâncias), esquecendo de elevar ao quadrado. O valor 4 vem de tomar a nova distância como 2 m (em vez de 1 + 2 = 3 m): (2/1)² = 4; o valor 2 é essa mesma razão linear sem elevar ao quadrado. O valor 1 supõe que a sombra não muda quando o disco se afasta, o que contradiz a semelhança.