Questão 160 do ENEM 2023 — Matemática
Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:
• algarismos de 0 a 9;
• 26 letras minúsculas do alfabeto;
• 26 letras maiúsculas do alfabeto;
• 6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.
Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:
• tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
• tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
• tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.
Considere 
as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.
Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o
Resolução comentada
O universo de caracteres tem 68 símbolos (10 algarismos + 26 minúsculas + 26 maiúsculas + 6 especiais). A senha tipo I, com 4 caracteres quaisquer e distintos entre os 68, tem o maior número de combinações possíveis, o que a torna a mais difícil de adivinhar — de fato p1 é a menor das três probabilidades, com p1 < p2 < p3.
É tentador achar que a senha tipo III, por ter mais caracteres (6), seria a mais segura, mas ela é dividida em blocos fixos (2 letras, depois 2 algarismos, depois 2 símbolos), o que reduz bastante as combinações possíveis em comparação com a liberdade total da senha tipo I.