Questão 159 do ENEM 2023 — Matemática
Estudantes de psicologia experimental estão analisando um modelo matemático que foi desenvolvido a partir de um experimento com pombos. Nesse experimento, um alimento considerado como uma recompensa reforçadora era fornecido em quantidades (Q) para as aves, com a possibilidade de atraso no tempo de entrega.
O modelo matemático que relaciona os valores reforçadores V1 e V2 de duas recompensas em função de suas respectivas quantidades Q1 e Q2 e de seus respectivos tempos de atraso T1 e T2 na disponibilização de cada uma delas é
V
Q
T
1
1
2
V
Q
T
2
2
1
Ao analisarem o caso em que a quantidade Q1 é o dobro da quantidade Q2, cinco estudantes fizeram as seguintes afirmações sobre em que condição o valor V1 será maior que o valor V2:
• estudante 1: sempre, pois Q1 é o dobro de Q2; • estudante 2: apenas quando a razão entre T2 e T1 for maior que 0,5; • estudante 3: apenas quando a razão entre T2 e T1 for menor que 0,5; • estudante 4: apenas quando T1 for igual a T2; • estudante 5: apenas quando a razão entre T2 e T1
for maior que 0,5 e menor que 1.
Qual estudante fez a afirmação correta?
Resolução comentada
A questão pede para interpretar um modelo de proporcionalidade e decidir em que condição V₁ supera V₂ quando Q₁ = 2 · Q₂. No modelo, o valor reforçador cresce com a quantidade Q e diminui com o tempo de atraso T; isto é, V é proporcional a Q/T, de modo que V₁/V₂ = (Q₁ · T₂)/(Q₂ · T₁).
Substituindo Q₁ = 2 · Q₂, os Q se cancelam e sobra apenas a razão entre os atrasos. V₁ será maior que V₂ quando a razão V₁/V₂ for maior que 1.
V₁/V₂ = (2 · Q₂ · T₂)/(Q₂ · T₁) = 2 · (T₂/T₁)
V₁ > V₂ ⇔ 2 · (T₂/T₁) > 1
T₂/T₁ > 1/2 = 0,5
Logo, V₁ > V₂ exatamente quando a razão entre T₂ e T₁ é maior que 0,5: o estudante que falou em razão maior que 0,5 está certo. Quem diz "sempre" ignora o atraso (se T₂ for muito menor que T₁, o atraso derruba V₁). Quem diz "menor que 0,5" inverte a desigualdade. Quem diz "apenas quando T₁ = T₂" cita um caso particular (nele V₁ = 2 · V₂, de fato maior), mas esquece todos os outros em que a condição também vale. Quem limita a razão entre 0,5 e 1 deixa de fora razões maiores ou iguais a 1, como T₂/T₁ = 2, em que V₁/V₂ = 4.