Questão 146 do ENEM 2023 — Matemática
Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2. Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?
Resolução comentada
Usando os números de 1 a 6 sem repetição, as únicas ternas de vértices em progressão aritmética de razão 2 dentro desse conjunto são {1, 3, 5} e {2, 4, 6}; completando cada uma delas com os três números restantes nos pontos médios dos lados, forma-se um triângulo com somas iguais nos três lados — 10 para a primeira terna e 11 para a segunda —, o que dá exatamente as duas soluções, com somas 10 e 11.
Quem soma todos os seis números (1+2+...+6 = 21) e divide por 3 lados, sem perceber que cada vértice é compartilhado por dois lados e deveria entrar em dobro na conta, encontra sempre 7 — um único valor, que não depende de qual terna é escolhida como vértices — e cai na ideia errada de que existe apenas uma solução.