Questão 165 do ENEM 2022 — Matemática
Três amigos, A, B e C, se encontraram em um supermercado. Por coincidência, estavam comprando os mesmos itens, conforme o quadro.
Amigos Arroz (kg) Feijão (kg) Macarrão (kg)
A
B
C
Os amigos estavam muito entretidos na conversa e nem perceberam que pagaram suas compras, pegaram seus trocos e esqueceram seus comprovantes. Já longe do supermercado, “A” lembrou que precisava saber o quanto pagou por um quilo de arroz e dois quilos de macarrão, pois estava comprando para sua vizinha e esperava ser ressarcido. “B”, que adorava desafios matemáticos, disse que pagou suas compras com R$ 40,00 e obteve troco de R$ 7,30, e que conseguiria determinar o custo desses itens se os amigos dissessem como pagaram e quanto foram seus respectivos trocos. “A” disse que pagou com R$ 40,00 e obteve troco de R$ 4,00, e “C” pagou com R$ 30,00 e obteve troco de R$ 5,40. A vizinha de “A” deve a ele pela compra, em reais, o valor de
Resolução comentada
A questão é de sistema linear: cada amigo comprou as mesmas coisas em quantidades diferentes, e cada compra rende uma equação com os preços por quilo do arroz (x), do feijão (y) e do macarrão (z).
O primeiro passo é descobrir quanto cada um realmente pagou: valor entregue menos o troco.
Amigo A: 40,00 − 4,00 = R$ 36,00
Amigo B: 40,00 − 7,30 = R$ 32,70
Amigo C: 30,00 − 5,40 = R$ 24,60
Cada linha da tabela de quantidades (kg de arroz, feijão e macarrão) vira uma equação do tipo (kg de arroz)·x + (kg de feijão)·y + (kg de macarrão)·z = total pago, formando um sistema 3 × 3.
O que a vizinha deve é o valor de 1 kg de arroz e 2 kg de macarrão, isto é, a expressão x + 2z. Não é necessário achar x, y e z separadamente: basta resolver o sistema (por escalonamento ou combinando as equações) e calcular x + 2z com os preços obtidos.
Resolvido o sistema com os totais de R$ 36,00, R$ 32,70 e R$ 24,60, obtém-se x + 2z = R$ 11,40. O erro mais comum é usar o valor entregue no caixa (40,00; 40,00 e 30,00) em vez do valor efetivamente pago, esquecendo de subtrair o troco, o que leva a totais inflados e a respostas diferentes de 11,40.