Questão 156 do ENEM 2022 — Matemática
Sete países americanos, Argentina, Brasil, Canadá, Chile, Estados Unidos, Paraguai e Uruguai; e sete países europeus, Portugal, Espanha, França, Inglaterra, Itália, Alemanha e Suíça, decidem criar uma comissão com representantes de oito desses países, objetivando criar políticas de incentivo e regulação do turismo entre eles. Na hipótese de criação da comissão, serão escolhidos aleatoriamente quatro representantes de países das Américas e quatro representantes de países europeus, não podendo estar na comissão dois representantes de um mesmo país. Qual é a probabilidade de o Brasil e a França pertencerem a essa comissão?
Resolução comentada
A questão é de probabilidade com combinações: a comissão tem 4 países da América e 4 da Europa, e queremos a chance de Brasil e França estarem nela. Como as escolhas nos dois continentes são independentes, multiplicamos as probabilidades.
Há 7 países americanos e 7 europeus, e são sorteados 4 de cada grupo. Precisamos que o Brasil esteja entre os 4 americanos e que a França esteja entre os 4 europeus.
Contagem para a América:
total de grupos de 4 entre 7: C(7,4) = 35
grupos que contêm o Brasil: sobra escolher 3 entre os outros 6: C(6,3) = 20
probabilidade = 20/35 = 4/7
Na Europa a conta é idêntica: 4/7. Multiplicando: 4/7 · 4/7 = 16/49.
A resposta é 16/49. A fração 1/49 sai de 1/7 · 1/7, que trata cada continente como se só um país fosse sorteado, ignorando que são 4 vagas de 7 (4/7 e não 1/7). A fração 1/182 lembra 1/14 · 1/13: escolher um país de 14, depois outro de 13, em sequência, sem considerar as vagas por continente. A fração 1/13 é o que sobra ao imaginar que, depois do Brasil, a França seria o único entre os 13 países restantes. E 1/4 é o número de vagas por continente tomado como se fosse a probabilidade, sem nenhuma contagem por trás.