Questão 152 do ENEM 2022 — Matemática
Um cortador de grama elétrico tem o cabo plugado em uma tomada fixa rente ao solo plano de um gramado. O cabo de energia mede 5 metros, e o cortador tem uma lâmina que corta 1 metro de largura. Atualmente ele corta, portanto, uma região no formato de círculo de raio 6 m, como ilustra a figura. Pretende-se usar adicionalmente um cabo extensor, de modo que seja possível cortar uma região com o dobro da área que corta atualmente.
1 m
Cortador de grama
5 m
Cabo
Tomada
Qual a medida aproximada, em metro, do comprimento do cabo extensor?
Resolução comentada
A ferramenta aqui é a área do círculo (A = π · r²) e a ideia de que, dobrando a área, o raio não dobra: ele é multiplicado por √2.
O alcance atual é o cabo (5 m) mais a largura da lâmina (1 m), ou seja, raio de 6 m. A área atual é A = π · 6² = 36π. A área desejada é o dobro: 72π.
Chamando de R o novo raio:
π · R² = 72π
R² = 72
R = √72 ≈ 8,5 m
Esse é o alcance total necessário. Como o alcance atual é 6 m, o cabo extensor deve cobrir a diferença:
8,5 − 6 = 2,5 m
Perceba as armadilhas: 8,5 m é o novo raio, e não o comprimento do extensor; 12 m é o raio dobrado (ideia errada de que dobrar a área dobra o raio); 6 m e 3 m surgem de contas que ignoram o raio de 6 m já existente ou o valor de √72.