Questão 143 do ENEM 2022 — Matemática
Uma indústria de sucos utiliza uma embalagem no formato de prisma reto de base quadrada, com aresta da base de medida a e altura de medida h, ambas de mesma unidade de medida, como representado na figura.
h
SUCO
a
a
Deseja-se criar uma linha de produção para uma nova embalagem de igual formato, mas que deverá ter uma capacidade igual ao triplo da atual.
A altura da nova embalagem será igual a 4 3 da altura
da embalagem atual. As arestas da base da nova embalagem serão denominadas de x. Qual a relação de dependência entre a medida x da nova aresta da base e a medida a da aresta atual?
Resolução comentada
A questão pede a relação entre a aresta x da nova base e a aresta a da base atual quando o volume triplica e a altura muda; a ferramenta é o volume do prisma reto de base quadrada, V = (área da base) · altura = a² · h.
A embalagem atual tem volume a² · h. A nova tem aresta x, altura igual a 4/3 de h e volume igual ao triplo do atual: x² · (4h/3) = 3 · a² · h.
x² · (4/3) · h = 3 · a² · h
Cancelando h: x² · 4/3 = 3a²
x² = 3a² · 3/4 = 9a²/4
x = √(9a²/4) = 3a/2
A resposta é x = 3a/2. Veja de onde vêm as outras relações: x = a√3 resulta de esquecer que a altura também mudou (x² = 3a²); x = a ignora o aumento do volume; x = 3a triplica a aresta, mas o volume cresceria com o quadrado da aresta, não linearmente; e x = 9a chega a x² = 9a² e esquece de extrair a raiz quadrada no final.