Questão 140 do ENEM 2022 — Matemática
As bactérias são microrganismos formados por uma única célula. Elas estão presentes em praticamente todos os meios: no ar, na água, no solo ou no interior de outros seres vivos. A forma de reprodução mais comum das bactérias é a assexuada por bipartição. Nesse processo, cada uma delas tem seu DNA duplicado e, posteriormente, se divide em duas células bacterianas. De modo geral, em condições favoráveis, esse processo de bipartição se conclui a cada 20 minutos.
Disponível em: www.sobiologia.com.br. Acesso em: 16 nov. 2013 (adaptado). Considere que, no instante t = 0, há uma quantidade N0 de bactérias em um meio favorável à sua reprodução, de modo que nele só se reproduzem por bipartição.
A sequência formada pela quantidade de bactérias nesse meio nos instantes 0, 20, 40, 60, 80 e 100 minutos é
Resolução comentada
A questão pede a sequência da quantidade de bactérias a cada 20 minutos; a ferramenta é a progressão geométrica, pois cada bipartição dobra a população.
No instante t = 0 há N₀ bactérias e, a cada 20 minutos, cada bactéria se divide em duas. Os instantes pedidos (0, 20, 40, 60, 80 e 100 minutos) correspondem a 0, 1, 2, 3, 4 e 5 bipartições.
t = 0: N₀
t = 20: 2 · N₀
t = 40: 2 · 2N₀ = 4N₀
t = 60: 2 · 4N₀ = 8N₀
t = 80: 2 · 8N₀ = 16N₀
t = 100: 2 · 16N₀ = 32N₀
Ou seja, N(k) = N₀ · 2ᵏ, uma PG de razão 2.
A resposta é a sequência N₀, 2N₀, 4N₀, 8N₀, 16N₀, 32N₀. As outras falham assim: N₀, 2N₀, 3N₀, 4N₀, 5N₀, 6N₀ é uma PA, que soma N₀ a cada etapa em vez de dobrar; N₀, 3N₀, 7N₀, 15N₀, 31N₀, 63N₀ acumula 2ᵏ − 1 e passa de N₀ para 3N₀ já na primeira divisão, como se cada bactéria gerasse três; N₀, N₀², N₀³, ... eleva N₀ à potência k em vez de multiplicá-lo por 2ᵏ; e N₀, N₀², N₀⁴, N₀⁸, N₀¹⁶, N₀³² faz o expoente dobrar, trocando 2ᵏ · N₀ por N₀ elevado a 2ᵏ.