Questão 152 do ENEM 2021 — Matemática
Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo 
e estrela \, definidas sobre o conjunto dos números reais por x
y = x² + xy – y² e x \ y = xy + x.
O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma da duas maiores soluções da equação (a
b)*(b
a) = 0. Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.
Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b=1.
Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será
Resolução comentada
Usando b=1 na definição x Δ y = x² + xy − y², temos a Δ 1 = a² + a − 1 e 1 Δ a = 1 + a − a². A equação (a Δ 1)·(1 Δ a) = 0 exige que um dos dois fatores seja zero, gerando duas equações do segundo grau: a² + a − 1 = 0 e a² − a − 1 = 0. Resolvendo-as, as duas maiores soluções encontradas são (1+√5)/2 e (−1+√5)/2, cuja soma vale exatamente √5 — esse é o valor de saída.
Quem soma todas as quatro raízes das duas equações, em vez de escolher apenas as duas maiores, obtém 0, já que as raízes se cancelam aos pares; o enunciado pede explicitamente a soma das duas maiores soluções entre as quatro possíveis, não a soma de todas elas.