Questão 176 do ENEM 2020 — Matemática
Projetado pelo arquiteto Oscar Niemeyer, o Museu de Arte Contemporânea (MAC) tornou-se um dos cartões-postais da cidade de Niterói (Figura 1).
Figura 1
Considere que a forma da cúpula do MAC seja a de um tronco de cone circular reto (Figura 2), cujo diâmetro da base maior mede 50 m e 12 m é a distância entre as duas bases. A administração do museu deseja fazer uma reforma revitalizando o piso de seu pátio e, para isso, precisa estimar a sua área. (Utilize 1,7 como valor aproximado para 3 e 3 para ).
60º Pátio
Figura 2
A medida da área do pátio do museu a ser revitalizada, em metro quadrado, está no intervalo
Resolução comentada
A questão pede a área do pátio sob a cúpula, que tem forma de tronco de cone; a ferramenta é a trigonometria no triângulo retângulo formado pela altura e pela geratriz, para achar o raio da base menor, e depois a área do círculo.
Os dados são: diâmetro da base maior de 50 m (raio de 25 m), distância de 12 m entre as bases e ângulo de 60º da lateral da cúpula com o plano da base (indicado na Figura 2). Pelo enunciado, usa-se √3 ≈ 1,7 e π ≈ 3. O pátio é o círculo da base menor, a que fica rente ao chão.
No triângulo retângulo, tg 60º = altura / deslocamento horizontal d:
√3 = 12/d, logo d = 12/√3 = 4√3 ≈ 4 · 1,7 = 6,8 m
Raio da base menor = 25 − 6,8 = 18,2 m
Área = π · r² ≈ 3 · 18,2² = 3 · 331,24 ≈ 993,7 m²
A resposta é o intervalo [900, 1 000], pois 993,7 está nele. Os intervalos vizinhos ficam fora se a conta for feita direito: o intervalo [1 000, 1 100] só aparece com um deslocamento horizontal errado, por exemplo d = 6 m (usar a metade de 12), que dá r = 19 e 3 · 19² = 1 083; e os intervalos [600, 700], [300, 400] e [100, 200] correspondem a raios bem menores, de quem desconta um deslocamento horizontal grande demais. Já usar o raio da base maior daria 3 · 25² = 1 875, que não cai em nenhum intervalo.