Questão 167 do ENEM 2020 — Matemática
A prefeitura de uma cidade está renovando os canteiros de flores de suas praças. Entre as possíveis variedades que poderiam ser plantadas, foram escolhidas cinco: amor-perfeito, cravina, petúnia, margarida e lírio. Em cada um dos canteiros, todos com composições diferentes, serão utilizadas somente três variedades distintas, não importando como elas serão dispostas. Um funcionário deve determinar os trios de variedades de flores que irão compor cada canteiro. De acordo com o disposto, a quantidade de trios possíveis é dada por
Resolução comentada
A questão pede quantos trios de flores podem ser formados, sem importar a ordem; a ferramenta é a combinação simples.
São 5 variedades (amor-perfeito, cravina, petúnia, margarida e lírio), escolhidas 3 a 3. Como a disposição dentro do canteiro não importa, trocar a ordem dos três não gera um trio novo.
Arranjo (com ordem): A(5,3) = 5!/(5 − 3)! = 5 · 4 · 3 = 60.
Cada trio foi contado 3! = 6 vezes, então divida: 60 / 6 = 10.
C(5,3) = 5! / ((5 − 3)! · 3!) = 120 / (2 · 6) = 10 trios.
A resposta é 5! / ((5 − 3)! · 3!). A fração 5!/(5 − 3)! é o arranjo e conta cada trio em todas as ordens (60). A fração 5!/((5 − 3)! · 2!) divide pelo fatorial errado (2! em vez de 3!) e dá 30. O produto 5 · 3 mistura o total de flores com o tamanho do trio, resultando em 15 sem sentido combinatório. E o número 5 sozinho é apenas a quantidade de variedades.