Questão 163 do ENEM 2020 — Matemática
Os alunos do curso de matemática de uma universidade desejam fazer uma placa de formatura, no formato de um triângulo equilátero, em que os seus nomes aparecerão dentro de uma região quadrada, inscrita na placa, conforme a figura.
Considerando que a área do quadrado, em que aparecerão os nomes dos formandos, mede 1 m2, qual é aproximadamente a medida, em metro, de cada lado do triângulo que representa a placa? (Utilize 1,7 como valor aproximado para 3 ).
Resolução comentada
Esta é uma questão de geometria plana que combina a altura do triângulo equilátero com semelhança de triângulos. O quadrado tem um lado apoiado na base da placa e os dois vértices superiores sobre os outros lados do triângulo.
Como a área do quadrado é 1 m², seu lado mede 1 m. Seja l o lado do triângulo equilátero. A altura do triângulo é h = l · √3/2.
Acima do quadrado sobra um triângulo equilátero menor, semelhante ao grande, cuja base é o lado superior do quadrado (1 m). Cada triângulo pequeno que sobra nas laterais da base é retângulo, com ângulo de 60° e cateto vertical de 1 m, então seu cateto horizontal vale 1/√3 (pois tg 60° = √3). A base do triângulo é a soma:
l = 1/√3 + 1 + 1/√3 = 1 + 2/√3 = 1 + 2√3/3
Usando √3 ≈ 1,7:
l ≈ 1 + (2 · 1,7)/3 = 1 + 3,4/3 ≈ 1 + 1,13 = 2,13
O lado do triângulo mede aproximadamente 2,1 m. Conferindo: o triângulo precisa ser maior que o quadrado, mas não muito, pois o quadrado ocupa boa parte da sua região inferior; por isso valores como 3,7 ou 6,4 são exagerados.