Questão 163 do ENEM 2020 — Matemática
Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por
Resolução comentada
Como há 5 consoantes (M, P, T, T, R) e apenas 4 vogais (I, A, O, E) na frase “IAMPOTTER”, para intercalá-las é obrigatório começar e terminar com consoante. As consoantes podem ser arranjadas de 5!/2! formas (dividindo por 2! por causa da repetição do T), e as vogais, de 4! formas — o total de anagramas é 5!/2! × 4!.
Quem monta o produto 5! × 4!, sem dividir pela repetição do T, está contando cada anagrama válido duas vezes, já que trocar as duas letras T entre si não gera uma palavra nova — esse esquecimento dobra indevidamente o resultado.