Questão 162 do ENEM 2020 — Matemática
Um determinado campeonato de futebol, composto por 20 times, é disputado no sistema de pontos corridos. Nesse sistema, cada time joga contra todos os demais times em dois turnos, isto é, cada time joga duas partidas com cada um dos outros times, sendo que cada jogo pode terminar empatado ou haver um vencedor.
Sabendo-se que, nesse campeonato, ocorreram 126 empates, o número de jogos em que houve ganhador é igual a
Resolução comentada
A ferramenta é a análise combinatória: primeiro conta-se o total de jogos do campeonato e depois se subtrai o número de empates para achar os jogos com ganhador.
Cada time joga duas partidas (ida e volta) contra cada um dos outros 19 times. Em um turno, os jogos são as combinações de 20 times tomados 2 a 2.
Jogos em um turno: C(20, 2) = (20 · 19)/2 = 190
Jogos nos dois turnos: 2 · 190 = 380
Jogos com ganhador: 380 − 126 = 254
Portanto, houve 254 jogos com vencedor. O erro mais comum é contar só um turno e achar 190 jogos (o que daria 190 − 126 = 64), ou esquecer de subtrair os empates e ficar com 380. Lembre também que os empates já fazem parte dos 380 jogos; não se somam a eles.