Questão 146 do ENEM 2020 — Matemática
O governador de um estado propõe a ampliação de investimentos em segurança no transporte realizado por meio de trens. Um estudo para um projeto de lei prevê que se tenha a presença de três agentes mulheres, distribuídas entre os 6 vagões de uma composição, de forma que duas dessas agentes não estejam em vagões adjacentes, garantindo assim maior segurança aos usuários.
Disponível em: www.sisgraph.com.br. Acesso em: 29 jan. 2015 (adaptado).
A expressão que representa a quantidade de maneiras distintas das três agentes serem distribuídas nos vagões é
3 4 + 3!
Resolução comentada
A questão pede a expressão que conta as maneiras de posicionar três agentes em 6 vagões sem que duas fiquem em vagões vizinhos; a ferramenta é combinação (escolha dos vagões) seguida de permutação (quem vai em cada um).
Há 6 vagões em fila e 3 agentes distintas. Duas agentes não podem ocupar vagões adjacentes.
Escolha dos vagões sem adjacência, listando: {1, 3, 5}, {1, 3, 6}, {1, 4, 6} e {2, 4, 6}. São 4 conjuntos, o que coincide com C₄³ = 4 (escolher 3 posições não vizinhas entre 6 equivale a C(6 − 3 + 1, 3)).
Distribuição das 3 agentes nos 3 vagões escolhidos: 3! = 6.
Total: C₄³ × 3! = 4 · 6 = 24 maneiras.
A resposta é C₄³ × 3!. A expressão C₄³ + 3! soma em vez de multiplicar: as duas etapas são sucessivas, então se multiplicam (daria 10). C₆³ escolhe 3 vagões livremente e ignora a restrição de adjacência, além de não distinguir as agentes. A₆³ também ignora a restrição e ainda conta a ordem (6 · 5 · 4 = 120). Por fim, A₄³ × 3! conta a ordem duas vezes: A₄³ já inclui a permutação, e multiplicar por 3! de novo dá 144.