Questão 145 do ENEM 2020 — Matemática
Um clube deseja produzir miniaturas em escala do troféu que ganhou no último campeonato. O troféu está representado na Figura 1 e é composto por uma base em formato de um paralelepípedo reto-retângulo de madeira, sobre a qual estão fixadas três hastes verticais que sustentam uma esfera de 30 cm de diâmetro, que fica centralizada sobre a base de madeira. O troféu tem 100 cm de altura, incluída sua base.
A miniatura desse troféu deverá ser instalada no interior de uma caixa de vidro, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, cujas dimensões internas de sua base estão indicadas na Figura 2, de modo que a base do troféu seja colada na base da caixa e distante das paredes laterais da caixa de vidro em pelo menos 1 cm. Deve ainda haver uma distância de exatos 2 cm entre o topo da esfera e a tampa dessa caixa de vidro. Nessas condições deseja-se fazer a maior miniatura possível.
A medida da altura, em centímetro, dessa caixa de vidro deverá ser igual a
Resolução comentada
O espaço disponível para a base do troféu dentro da caixa é de 6 cm × 8 cm (descontando 1 cm de cada lado das dimensões internas de 8 cm × 10 cm); como a base real é quadrada (50 cm × 50 cm), o fator de redução é limitado pelo menor lado disponível: 6/50 = 0,12. Nessa escala, a altura do troféu (100 cm) vira 12 cm na miniatura, e somando os 2 cm exigidos até a tampa, a caixa de vidro deve ter 14 cm de altura.
Usar o lado de 8 cm (em vez de 6 cm) para calcular a escala pareceria dar uma miniatura maior, mas violaria a exigência de deixar pelo menos 1 cm livre até as paredes no lado de 8 cm de largura; por isso é o menor lado disponível que determina o maior troféu possível.