Questão 157 do ENEM 2020 — Matemática
Amigo secreto é uma brincadeira tradicional nas festas de fim de ano. Um grupo de amigos se reúne e cada um deles sorteia o nome da pessoa que irá presentear. No dia da troca de presentes, uma primeira pessoa presenteia seu amigo secreto. Em seguida, o presenteado revela seu amigo secreto e o presenteia. A brincadeira continua até que todos sejam presenteados, mesmo no caso em que o ciclo se fecha. Dez funcionários de uma empresa, entre eles um casal, participarão de um amigo secreto. A primeira pessoa a revelar será definida por sorteio.
Qual é a probabilidade de que a primeira pessoa a revelar o seu amigo secreto e a última presenteada sejam as duas pessoas do casal?
Resolução comentada
Para a pessoa sorteada para revelar primeiro ser um dos dois cônjuges e a última presenteada ser o outro, é preciso que o sorteio escolha um dos dois (probabilidade 1/10) e que, dentro do ciclo formado pelo amigo secreto, o antecessor dessa pessoa no ciclo seja justamente seu cônjuge (probabilidade 1/9 entre as demais 9 pessoas). Como isso pode acontecer começando por qualquer um dos dois, a probabilidade total é 2 × (1/10) × (1/9) = 1/45.
Calcular apenas a chance de o casal ser sorteado para começar (1/10) é a armadilha mais comum, mas o enunciado também exige que o ciclo feche exatamente sobre o outro cônjuge — uma segunda condição independente que precisa ser multiplicada pela primeira, e não somada a ela.