Questão 155 do ENEM 2020 — Matemática
O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?
Resolução comentada
Cada novo quadrado tem lado igual à metade do lado do quadrado anterior, formando a sequência 1, 1/2, 1/4, ..., ou seja, o lado do n-ésimo quadrado é (1/2)^(n−1). Para o centésimo quadrado (n = 100), o lado mede (1/2)^99.
Um erro comum é contar a primeira redução já no quadrado de partida, calculando (1/2)^100 em vez de (1/2)^99 — mas o quadrado inicial PRST, de lado 1, já é o primeiro da sequência, e a primeira "metade" só aparece no segundo quadrado, então o expoente correto é 99, não 100.