Questão 177 do ENEM 2019 — Matemática
Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão esta representado na figura.
descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.
O valor do parâmetro β, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm.
Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para π.
O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é
Resolução comentada
A função pode ser reescrita como h(t) = 4 − 4cos(βt/2), que atinge 6 cm quando cos(βt/2) = −1/2, o que acontece em βt/2 = 2π/3 e em βt/2 = 4π/3 (e depois a cada volta completa de 2π). Para que isso ocorra três vezes antes de t = 4 s, o terceiro instante (em βt/2 = 2π + 2π/3 = 8π/3) precisa acontecer antes do valor de βt/2 em t=4, ou seja, 2β > 8π/3; usando π ≈ 3, isso dá β > 4, e o menor inteiro que satisfaz essa condição é 5.
Quem testa apenas β = 4 encontra somente duas passagens pelo valor 6 cm antes dos 4 segundos, pois o terceiro cruzamento aconteceria exatamente no limite ou logo depois desse tempo; é preciso um valor de β ligeiramente maior para garantir que a terceira ocorrência caiba dentro do intervalo exigido.