Questão 160 do ENEM 2017 — Matemática
O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.
De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?
Resolução comentada
Na logomarca, a haste/base central da taça toca todas as outras 5 regiões (as mãos que formam a bola e o pé da taça), mas essas 5 regiões não fazem fronteira direta entre si. Assim, a região central pode receber qualquer uma das 4 cores, e cada uma das outras 5 regiões só precisa ser diferente da cor central, tendo 3 opções cada: 4 × 3⁵ = 972.
Quem trata a figura como se todas as regiões vizinhas formassem uma cadeia fechada (cada uma vizinha também da seguinte) obtém um número menor, como 360, porque nesse caso sobrariam menos opções de cor a cada nova região pintada.