Questão 143 do ENEM 2017 — Matemática
Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.
No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo.
Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?
Resolução comentada
Como o caminhão tem 10 carrinhos e cada uma das 4 cores precisa aparecer pelo menos uma vez, e a ordem dos carrinhos não importa, só quanto de cada cor, o problema se resume a contar quantas formas existem de repartir 10 carrinhos entre 4 cores com cada cor recebendo no mínimo 1 — que é o clássico problema de bolas e barras, cuja contagem é C9,3.
Quem calcula C10,4 está, sem perceber, tratando os carrinhos e as cores como se fossem itens escolhidos diretamente, mas o problema pede o número de formas de distribuir quantidades entre grupos, e a fórmula correta para isso já desconta o mínimo de 1 por cor, reduzindo os parâmetros para C9,3.