Questão 167 do ENEM 2016 — Matemática
Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola: y = 9 - x², sendo x e y medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
Resolução comentada
A parábola y = 9 − x² toca o chão (y = 0) em x = ±3, então a base do arco mede 6 m, e sua altura máxima, em x = 0, é 9 m. A área do retângulo que envolve o arco é 6 × 9 = 54 m², e a área sob a parábola vale 2/3 desse valor: (2/3) × 54 = 36 m².
O valor 54 é para quem calcula certinho a área do retângulo mas esquece de aplicar a fração 2/3 dada no enunciado para obter a área real sob o arco parabólico.