Questão 165 do ENEM 2016 — Matemática
Sob a orientação de um mestre de obras, João e Pedro trabalharam na reforma de um edifício. João efetuou reparos na parte hidráulica nos andares 1, 3, 5, 7, e assim sucessivamente, de dois em dois andares. Pedro trabalhou na parte elétrica nos andares 1, 4, 7, 10, e assim sucessivamente, de três em três andares. Coincidentemente, terminaram seus trabalhos no último andar. Na conclusão da reforma, o mestre de obras informou, em seu relatório, o número de andares do edifício. Sabe-se que, ao longo da execução da obra, em exatamente 20 andares, foram realizados reparos nas partes hidráulica e elétrica por João e Pedro.
Qual é o número de andares desse edifício?
Resolução comentada
Os andares de João formam a sequência 1, 3, 5, 7, ... (ímpares) e os de Pedro formam 1, 4, 7, 10, ... (resto 1 na divisão por 3). Um andar recebe as duas reformas quando é ímpar e deixa resto 1 por 3 ao mesmo tempo, ou seja, quando deixa resto 1 na divisão por 6: 1, 7, 13, 19, ... Como isso aconteceu em exatamente 20 andares, o último deles é o 20º termo dessa sequência: 1 + 6×19 = 115, que é justamente o último andar do prédio, onde os dois terminaram juntos.
O valor 120 é a armadilha de multiplicar direto 6 × 20, esquecendo que a contagem começa no andar 1 e não no andar 0 — por isso o termo correto é 1 + 6×19, e não 6×20.