Questão 179 do ENEM 2015 — Matemática
Uma competição esportiva envolveu 20 equipes com 10 atletas cada. Uma denúncia à organização dizia que um dos atletas havia utilizado substância proibida. Os organizadores, então, decidiram fazer um exame antidoping. Foram propostos três modos diferentes para escolher os atletas que irão realizá-lo: Modo I: sortear três atletas dentre todos os participantes; Modo II: sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas; Modo III: sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade de serem sorteados e que P(I), P(II) e P(III) sejam as probabilidades de o atleta que utilizou a substância proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do sorteio ser feito pelo modo I, II ou III.
Comparando-se essas probabilidades, obtém-se
Resolução comentada
Nos três modos, cada atleta acaba tendo a mesma chance de ser sorteado, porque fazer o sorteio em etapas (por equipe) não muda a probabilidade final de um atleta específico ser escolhido. No modo II, a chance de sortear a equipe do atleta é 1/20 e, dentro dela, a chance de ele estar entre os 3 sorteados é 3/10, dando (1/20)×(3/10) = 3/200 — igual ao modo I, que é diretamente 3/200. No modo III, a chance de a equipe dele estar entre as 3 sorteadas é 3/20 e, dentro dela, a chance de ele ser o único escolhido é 1/10, dando (3/20)×(1/10) = 3/200 de novo. Logo P(I) = P(II) = P(III).
É tentador achar que o modo III favorece o atleta suspeito, já que primeiro só 3 das 20 equipes são sorteadas (o que sugeriria P(III) maior) — mas isso é compensado pelo fato de que, dentro de cada equipe sorteada, apenas 1 entre os 10 atletas é escolhido; os dois efeitos se cancelam exatamente, mantendo a probabilidade igual à dos outros modos.