Questão 152 do ENEM 2015 — Matemática
O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥ 1?
Resolução comentada
No ano 1, a fábrica produziu 8.000 unidades, e a cada ano seguinte a produção cresce sempre 50% em relação ao ano anterior. Isso significa que os valores de P formam uma progressão geométrica de razão 1,5, com primeiro termo 8.000. Usando a fórmula do termo geral de uma PG, P(t) = a₁ × q^(t−1), chegamos a P(t) = 8.000 · (1,5)^(t−1).
Um erro comum é confundir um crescimento percentual constante com um crescimento linear, somando sempre a mesma quantidade fixa a cada ano (como em expressões que apenas somam um valor constante a 8 000); mas aumentar 50% ao ano significa multiplicar a produção por 1,5 a cada período, não somar um valor constante.