Questão 147 do ENEM 2015 — Matemática
Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.
Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II?
Resolução comentada
Antes da nota do jurado B em Bateria, a Escola II soma 66 pontos e a Escola IV, 68 — as únicas concorrentes reais, já que Escolas I (55), III (50) e V (54) não alcançariam a Escola II nem somando 10 em Bateria. No critério de desempate, Enredo e Harmonia, a Escola II já vence a Escola IV (20 a 19), então até um empate no total garante o título a ela: basta que sua nota (66+b) some, no mínimo, o mesmo que a da Escola IV menos 1, ou seja, b ≥ b′+2. Isso vale para 6 pares de notas (b, b′): (8,6), (9,6), (10,6), (9,7), (10,7) e (10,8). Como as outras três escolas podem receber livremente qualquer uma das 5 notas, o total é 6 × 5³ = 750 configurações.
Quem ignora o critério de desempate acaba exigindo que a Escola II supere a Escola IV sem contar os empates, perdendo casos válidos; e quem esquece que as Escolas I, III e V nunca ameaçam o título — mesmo tirando nota máxima — acaba multiplicando por uma potência de 5 diferente de 5³, caindo em distratores como 90 ou 1.250.