Questão 163 do ENEM 2014 — Matemática
Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?
Resolução comentada
A estratégia já fixa a estrutura da sequência: 5 locações com (ação + comédia) e depois 3 com (ação + drama). O que resta decidir é a ordem interna de cada gênero: os 8 filmes de ação podem se distribuir nas 8 posições de 8! maneiras, as comédias em 5! e os dramas em 3! — pelo princípio multiplicativo, 8! × 5! × 3!.
O cálculo 16!/2⁸ trata o problema como permutação livre dos 16 filmes, ignorando que a estratégia determina qual gênero aparece em cada locação.